ESTADISTICA E INVESTIGACIÓN

sábado, 26 de agosto de 2023

Análisis de Regresión simple y múltiple con fórmulas

I. Introducción al análisis de regresión

El análisis de regresión es una técnica estadística fundamental en la ciencia de datos y la investigación cuantitativa. Permite modelar y entender las relaciones entre variables, lo que resulta invaluable para la toma de decisiones informadas y la predicción de resultados. En este artículo, exploraremos los conceptos básicos del análisis de regresión, tanto en su forma simple como múltiple, y revisaremos las fórmulas y cálculos necesarios para llevar a cabo este tipo de análisis. Además, analizaremos la interpretación de los resultados obtenidos y discutiremos las ventajas y limitaciones del análisis de regresión. Al finalizar, proporcionaremos recomendaciones para su implementación efectiva. Si deseas mejorar tu comprensión de esta poderosa herramienta estadística, continúa leyendo para adentrarte en el análisis de regresión simple y múltiple con fórmulas.

Importancia y aplicaciones del análisis de regresión

El análisis de regresión es fundamental en el campo de la estadística y tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas. Es utilizado en la investigación científica para analizar y predecir fenómenos, en el ámbito empresarial para entender las relaciones entre variables y tomar decisiones basadas en datos, y en el campo de la economía para modelar y pronosticar variables económicas.

II. Conceptos básicos de regresión simple y múltiple

1. Regresión simple

La regresión simple es un tipo de análisis de regresión donde se estudia la relación entre una variable dependiente y una única variable independiente. En este caso, se utiliza una fórmula matemática para encontrar la mejor línea de regresión que se ajuste a los datos y permita predecir la variable dependiente.

III. Fórmulas y cálculos de regresión simple

3.1. Fórmula de la línea de regresión simple

La fórmula de la línea de regresión simple se representa como:

y = mx + b

Donde "y" es la variable dependiente,

"x" es la variable independiente,

"m" es la pendiente de la línea de regresión y

"b" es la intersección en el eje y.

Esta fórmula nos permite calcular el valor de y a partir de los valores de x.

Es la ecuación de una recta en forma pendiente-intersección. La variable y representa la variable dependiente o la salida de la ecuación, mientras que x representa la variable independiente o la entrada. El coeficiente m representa la pendiente de la recta, que determina la inclinación o dirección de la recta. La constante b representa la intersección y, que es el punto en el que la recta se cruza con el eje y. Esta ecuación se utiliza habitualmente en álgebra y geometría para representar gráficamente funciones lineales y resolver problemas de tasas de variación y relaciones lineales.

Figura 2: Recta de regresión.

3.2. Línea de regresión.

La recta de regresión es una línea recta que representa el mejor ajuste de un conjunto de puntos de datos. Suele utilizarse en análisis estadísticos para ayudar a predecir valores futuros basándose en datos pasados. La pendiente y el intercepto de la recta de regresión pueden calcularse mediante diversos métodos, como la regresión por mínimos cuadrados o el análisis de correlación. La recta de regresión también puede utilizarse para determinar la fuerza y la dirección de la relación entre dos variables. En la Figura 2, la línea de regresión se muestra como una línea sólida y los puntos de datos se representan mediante círculos. La línea de regresión proporciona una representación visual de la relación entre las dos variables y puede utilizarse para hacer predicciones sobre futuros puntos de datos.

3.3. Cálculo de la pendiente (m) y la intersección (b)

La pendiente "m" de la línea de regresión se calcula mediante la fórmula:

m = (nΣ(xy) - ΣxΣy) / (nΣx^2 - (Σx)^2),

donde n es el número de observaciones,

Σxy es la suma de los productos de los valores de x e y,

Σx es la suma de los valores de x,

Σy es la suma de los valores de y, y

Σx^2 es la suma de los cuadrados de los valores de x.

Por otro lado, la intersección "b" con el eje y se calcula mediante la fórmula:

b = (Σy - mΣx) / n.

IV. Interpretación de los resultados del análisis de regresión simple

4.1. Coeficiente de determinación (R-squared)

El coeficiente de determinación, también conocido como R-cuadrado, nos indica qué porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente puede ser explicada por la variable independiente(s). Un valor de R-cuadrado cercano a 1 indica que la variable independiente(s) explica(n) la mayoría de la variabilidad de la variable dependiente, mientras que un valor cercano a 0 indica que existe poca o ninguna relación.

4.2. Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación, representado por "r", nos indica la fuerza y dirección de la relación entre la variable independiente y la variable dependiente. Un valor de r cercano a 1 indica una relación positiva fuerte, mientras que un valor cercano a -1, indica una relación negativa fuerte. Si el valor de r es cercano a 0, no existe una relación lineal fuerte entre las variables.V. Fórmulas y cálculos de regresión múltiple

-1 -0.5 0 0.5 1

Relación fuerte pero inversa Sin relación Relación fuerte directa

Figura 3: Nivel de correlación entre las variables

La figura 3 muestra el nivel de correlación entre las variables. El gráfico muestra la fuerza y la dirección de la relación entre las variables. Una correlación positiva indica que a medida que aumenta una variable, también aumenta la otra. En cambio, una correlación negativa significa que, al aumentar una variable, disminuye la otra. Cuanto más se acerque el coeficiente de correlación a 1 o -1, más fuerte será la correlación. Un coeficiente de correlación de 0 indica que no existe correlación entre las variables. La información de esta figura es crucial para comprender las relaciones entre las variables y su impacto en los resultados globales. la formula par calcular el coeficiente de correlación es:

V. Regresión múltiple

La regresión múltiple es similar a la regresión simple, pero en lugar de una única variable independiente, se utilizan múltiples variables independientes para predecir la variable dependiente. En este caso, se utiliza una fórmula matemática más compleja que involucra coeficientes para cada una de las variables independientes.

5.1. Fórmula de la línea de regresión múltiple

La fórmula de la línea de regresión múltiple es la siguiente:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + bₙXₙ

Donde:

Y es la variable dependiente,

b₀ es el coeficiente de intersección, b₁, b₂, ..., bₙ son los coeficientes de regresión para cada variable independiente (X₁, X₂, ..., Xₙ), y X₁, X₂, ..., Xₙ son las variables independientes.

Esta fórmula nos permite predecir los valores de Y basados en los valores de las variables independientes X´.

5.2. Cálculo de los coeficientes de regresión

Para calcular los coeficientes de regresión, se utiliza el Método de Mínimos Cuadrados. Este método busca encontrar la línea de regresión que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores predichos.

Los coeficientes de regresión se calculan mediante las siguientes fórmulas:

b₀ = Ȳ - (b₁X̅₁ + b₂X̅₂ + ... + bₙX̅ₙ)

b₁ = Σ((X₁ - X̅₁)*(Y - Ȳ)) / Σ((X₁ - X̅₁)²)

b₂ = Σ((X₂ - X̅₂)*(Y - Ȳ)) / Σ((X₂ - X̅₂)²)

...

bₙ = Σ((Xₙ - X̅ₙ)*(Y - Ȳ)) / Σ((Xₙ - X̅ₙ)²)

Donde:

Ȳ es la media de los valores observados de Y,

X̅₁, X̅₂, ..., X̅ₙ son las medias de las variables independientes X₁, X₂, ..., Xₙ,

Σ representa la suma de los valores, y

/ representa la división.

Estas fórmulas nos permiten calcular los coeficientes de regresión necesarios para construir la línea de regresión múltiple.

VI. Interpretación de los resultados del análisis de regresión múltiple

6.1. Análisis de la significancia de los coeficientes

Es importante analizar la significancia estadística de los coeficientes de regresión para determinar si las variables independientes tienen un efecto significativo sobre la variable dependiente.

Para esto, se calcula el valor p asociado a cada coeficiente. Si el valor p es menor que un umbral predefinido (generalmente 0.05), se considera que el coeficiente es estadísticamente significativo.

Figura 1: Distribución Normal Estándar, Región crítica

Además, se puede utilizar el coeficiente de determinación (R²) para evaluar la calidad del ajuste del modelo. Este valor indica la proporción de la varianza total de la variable dependiente que puede ser explicada por las variables independientes. El coeficiente de determinación, también conocido como R-cuadrado, es una medida estadística que determina la proporción de la varianza de la variable dependiente que puede ser explicada por la(s) variable(s) independiente(s). En otras palabras, mide lo bien que se ajusta la recta de regresión a los puntos de datos.

El valor R-cuadrado oscila entre 0 y 1, donde 0 indica que el modelo no explica nada de la variabilidad de los datos y 1 indica que el modelo explica toda la variabilidad de los datos. He aquí algunas pautas generales para interpretar los valores R-cuadrado:

- Los valores de R-cuadrado entre 0,7 y 1 indican una fuerte relación entre las variables independiente y dependiente. Esto significa que el modelo explica una gran proporción de la variabilidad de los datos.

- Los valores de R-cuadrado entre 0,4 y 0,7 indican una relación moderada entre las variables independientes y dependientes. Esto significa que el modelo explica una proporción moderada de la variabilidad de los datos.

- Los valores de R-cuadrado inferiores a 0,4 indican una relación débil entre las variables independiente y dependiente. Esto significa que el modelo explica una pequeña proporción de la variabilidad de los datos.

Es importante señalar que los valores de R-cuadrado no deben utilizarse como único criterio para evaluar la bondad del ajuste de un modelo de regresión. También deben tenerse en cuenta otros factores, como la significación de los coeficientes, la distribución de los residuos y la presencia de valores atípicos.

En conclusión, comprender los distintos niveles del coeficiente de determinación puede ayudarte a evaluar la fuerza de la relación entre tus variables y la precisión de tu modelo de regresión. Ten en cuenta que los valores de R-cuadrado no son el único factor a considerar al evaluar el rendimiento de tu modelo.

6.2. Análisis de la multicolinealidad

La multicolinealidad es la presencia de alta correlación entre las variables independientes en un modelo de regresión múltiple. Esto puede causar problemas en la interpretación de los coeficientes de regresión y afectar la precisión de las predicciones.

Para detectar la multicolinealidad, se puede calcular el factor de inflación de la varianza (VIF) para cada variable independiente. Un VIF mayor a 1 indica la presencia de multicolinealidad. En caso de detectar multicolinealidad, se pueden tomar medidas como eliminar una de las variables correlacionadas o combinarlas en una sola variable.

Como se calcula el factor de inflación de la varianza?

Calcular el factor de inflación de la varianza es un paso importante en el análisis y la interpretación de los datos. El factor de inflación se utiliza para ajustar la varianza de una muestra para tener en cuenta el hecho de que puede no representar con exactitud a la población en su conjunto. Esto es especialmente importante cuando se sacan conclusiones o se hacen predicciones basadas en los datos.

Para calcular el factor de inflación, primero tienes que calcular la relación entre la varianza de la población y la varianza de la muestra. Esta proporción se conoce como razón F. El cociente F se calcula dividiendo la varianza de la población por la varianza de la muestra.

Una vez calculado el cociente F, puedes utilizarlo para calcular el factor de inflación. El factor de inflación se calcula sacando la raíz cuadrada del cociente F. Esto te dará un número que puedes utilizar para ajustar la varianza de la muestra a fin de tener en cuenta el factor de inflación.

Es importante señalar que el factor de inflación sólo se utiliza cuando el tamaño de la muestra es pequeño en relación con el tamaño de la población. Si el tamaño de la muestra es grande, el factor de inflación será cercano a uno, y no habrá mucha necesidad de ajustar la varianza de la muestra.

En resumen, calcular el factor de inflación de la varianza es un paso importante en el análisis y la interpretación de los datos. Nos permite ajustar la varianza de la muestra para tener en cuenta el hecho de que puede no representar con exactitud a la población en su conjunto. Si sabemos cómo calcular el factor de inflación, podremos hacer conclusiones y predicciones más precisas basadas en nuestros datos.

VII. Ventajas y limitaciones del análisis de regresión

7.1. Ventajas del análisis de regresión

El análisis de regresión ofrece varias ventajas. Primero, permite examinar las relaciones entre variables y comprender cómo una variable podría influir en otra. Esto es útil para hacer predicciones y tomar decisiones informadas.

Además, el análisis de regresión puede ayudar a identificar variables importantes y descartar variables irrelevantes. Esto permite simplificar modelos complejos y mejorar la interpretación.

Otra ventaja es que el análisis de regresión puede proporcionar medidas de significancia estadística y calidad de ajuste, lo que ayuda a evaluar la confiabilidad y eficacia del modelo.

7.2. Limitaciones del análisis de regresión

El análisis de regresión también tiene sus limitaciones. No puede establecer relaciones de causalidad, sino solo identificar asociaciones entre variables. Además, se basa en ciertas suposiciones, como la linealidad y la independencia de los errores.

Además, el análisis de regresión puede verse afectado por la presencia de datos atípicos, la falta de representatividad de la muestra y la multicolinealidad. Estos problemas pueden comprometer la precisión y confiabilidad de los resultados.

Es importante tener en cuenta estas limitaciones al interpretar los resultados del análisis de regresión y considerar otras técnicas o enfoques complementarios cuando sea necesario.

VIII. Conclusiones y recomendaciones para el análisis de regresión

En conclusión, el análisis de regresión múltiple proporciona una herramienta poderosa para examinar las relaciones entre variables y hacer predicciones. Con las fórmulas y cálculos adecuados, podemos construir una línea de regresión múltiple y calcular los coeficientes de regresión necesarios.

Es importante interpretar los resultados del análisis teniendo en cuenta la significancia estadística de los coeficientes y la posible presencia de multicolinealidad. Se deben considerar también las ventajas y limitaciones del análisis de regresión, así como las recomendaciones para hacer un uso adecuado de esta técnica.

En resumen, el análisis de regresión múltiple nos brinda información valiosa para comprender y predecir las relaciones entre variables, pero debemos tener en cuenta sus limitaciones y considerar otros enfoques cuando sea necesario.

Preguntas frecuentes a tener en cuenta cuando se aplica análisis de regresión

1. ¿Cuál es la diferencia entre regresión simple y regresión múltiple?

La regresión simple implica analizar la relación entre dos variables, donde una es considerada la variable independiente y la otra la variable dependiente. Por otro lado, la regresión múltiple involucra la relación entre una variable dependiente y dos o más variables independientes. La regresión múltiple permite tener en cuenta múltiples factores que podrían afectar la variable dependiente, lo que puede proporcionar un modelo más preciso y completo.

2. ¿Cómo interpretar el coeficiente de determinación (R-squared)?

El coeficiente de determinación, también conocido como R-cuadrado, indica la proporción de la variabilidad de la variable dependiente que puede ser explicada por el modelo de regresión. Un valor de R-cuadrado cercano a 1 significa que el modelo puede explicar la mayoría de la variabilidad de la variable dependiente. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el R-cuadrado por sí solo no valida la calidad del modelo y otros factores deben ser considerados, como la significancia de los coeficientes y la validez de las suposiciones del modelo.

3. ¿Cuáles son las ventajas del análisis de regresión?

El análisis de regresión proporciona una serie de ventajas, como la capacidad de modelar y predecir relaciones entre variables, identificar factores significativos que afectan la variable dependiente, y evaluar el impacto de diferentes variables independientes en la variable dependiente. Además, el análisis de regresión puede ayudar a identificar patrones y tendencias, lo que permite tomar decisiones informadas y optimizar los resultados.

4. ¿Cuáles son las limitaciones del análisis de regresión?

A pesar de sus ventajas, el análisis de regresión también tiene limitaciones. Algunas de ellas incluyen la necesidad de cumplir con ciertas suposiciones y condiciones para obtener resultados precisos y válidos, la sensibilidad a los valores atípicos que pueden afectar los resultados, y la posibilidad de correlación espuria o relaciones falsas entre variables. Además, el análisis de regresión asume una relación lineal entre las variables, lo que puede no ser adecuado en todas las situaciones. Por lo tanto, es esencial evaluar cuidadosamente estas limitaciones al interpretar los resultados del análisis de regresión.

Análisis de Regresión simple y múltiple con fórmulas

IX Ejemplos en Excel

Excel es una potente herramienta que puede utilizarse para analizar y organizar datos. Existen innumerables funciones y fórmulas que pueden utilizarse para manipular datos en Excel. En este artículo, exploraremos algunos ejemplos de cómo puede utilizarse Excel en diversos escenarios.

Análisis de datos: Excel puede utilizarse para analizar datos de diversas formas.

próximamente el video!

miércoles, 16 de agosto de 2023

Contenido de Conceptos Básicos de Estadistica

Introducción a la estadística y conceptos clave

La Estadística y cuantos tipos hay
Población
Muestra
Dato
Atributo
Estadístico o Estadígrafo
Parámetro
Variables y tipos
Escalas de Medida
Muestreo y tipos

La estadística es una disciplina que juega un papel fundamental en la recolección, análisis e interpretación de datos. Es una herramienta esencial en diversas áreas del conocimiento, desde la investigación científica hasta la toma de decisiones en el ámbito empresarial. En este artículo, exploraremos los fundamentos de la estadística, comenzando por los conceptos clave que nos permitirán comprender mejor su alcance y aplicaciones. Además, examinaremos los distintos tipos de estadística, como la estadística descriptiva y la inferencial, y ahondaremos en conceptos como población, muestra, atributos, variables, escalas de medida y el proceso de muestreo. A través de esta exploración, esperamos proporcionar una base sólida para aquellos que buscan comprender y utilizar la estadística de manera efectiva.

1.1 ¿Qué es la estadística?

La estadística es una disciplina que se encarga de recolectar, organizar, analizar e interpretar datos para tomar decisiones informadas. Nos ayuda a comprender y describir fenómenos complejos a través de la aplicación de métodos numéricos y probabilísticos.

1.2 Importancia de la estadística en diferentes campos

La estadística juega un papel fundamental en diversos campos, como la medicina, la economía, la investigación científica, el marketing y muchos otros. Proporciona herramientas para analizar datos, evaluar riesgos, probar hipótesis y tomar decisiones basadas en evidencia.

1.3 Breve historia de la estadística

La estadística tiene sus raíces en la antigüedad, con los primeros intentos de recolectar datos para fines demográficos y gubernamentales. A lo largo de los siglos, la disciplina se ha desarrollado y refinado, con contribuciones clave de estadísticos famosos como Ronald Fisher y Karl Pearson. Hoy en día, la estadística continúa evolucionando con el avance de la tecnología y la disponibilidad de grandes cantidades de datos.

2. Tipos de estadística: población y muestra

2.1 Definiendo los conceptos de población y muestra

En estadística, una población se refiere al conjunto completo de individuos, objetos o eventos que estamos estudiando y de los cuales queremos obtener conclusiones. Por otro lado, una muestra es un subconjunto representativo de la población que se analiza para hacer inferencias sobre la totalidad de la población.

2.2 Ventajas y desventajas de trabajar con población o muestra

Trabajar con poblaciones completas puede proporcionar resultados más precisos y confiables, pero a menudo es costoso y consume mucho tiempo. Por otro lado, trabajar con muestras permite ahorrar recursos y tiempo, pero puede haber un margen de error asociado a la extrapolación de los resultados a la población completa. La elección entre trabajar con población o muestra depende de los recursos disponibles y los objetivos del estudio.

3. Datos, atributos y variables estadísticas

3.1 Comprendiendo los datos estadísticos

Los datos estadísticos son información numérica o factual que se utiliza para el análisis estadístico. Pueden representar valores medidos, categorías o respuestas a preguntas específicas. Ejemplos comunes de datos estadísticos son las edades de un grupo de personas o los ingresos anuales de una empresa.

3.2 Diferenciando atributos y variables en estadística

En estadística, los atributos son características cualitativas que se utilizan para clasificar a los individuos o elementos. Por ejemplo, el género o el estado civil son atributos. Por otro lado, las variables son características que pueden tomar diferentes valores numéricos y se utilizan para medir y cuantificar aspectos específicos. Por ejemplo, la altura o el peso son variables.

4. Estadísticos y parámetros: ¿qué son y cómo se utilizan?

4.1 Definición de estadísticos y parámetros

En estadística, los estadísticos son medidas numéricas calculadas a partir de una muestra y se utilizan para describir características de dicha muestra. Por otro lado, los parámetros son medidas numéricas que describen características de una población completa.

4.2 Uso de estadísticos y parámetros en la toma de decisiones

Los estadísticos y parámetros son utilizados para hacer inferencias sobre una población a partir de una muestra. Permiten tomar decisiones basadas en evidencia, evaluar la efectividad de intervenciones o comparar diferentes grupos. Sin embargo, es importante tener en cuenta las limitaciones y el margen de error asociado a estas medidas al tomar decisiones importantes.5. Tipos de variables y escalas de medida en estadística

5.1 Variables cualitativas y cuantitativas

En estadística, las variables se pueden clasificar en dos tipos: cualitativas y cuantitativas. Las variables cualitativas son aquellas que se expresan mediante categorías o cualidades, como el color de los ojos o el tipo de música que prefieres. Por otro lado, las variables cuantitativas son aquellas que se pueden medir numéricamente, como la edad o el número de horas de sueño.

5.2 Escalas de medida: nominal, ordinal, intervalo y ratio

Las variables cuantitativas se pueden clasificar en diferentes escalas de medida. La escala nominal es la más básica, donde las categorías no tienen un orden específico, como el color favorito. En la escala ordinal, las categorías tienen un orden, pero la diferencia entre ellas no es cuantificable, como la clasificación de lugares en una carrera. En la escala de intervalo, las diferencias entre las categorías son cuantificables, pero no hay un valor cero absoluto, como las temperaturas en grados Celsius. Por último, en la escala de ratio, las diferencias son cuantificables y hay un valor cero absoluto, como la altura de una persona o el número de hijos.

6. Proceso de muestreo y su importancia en la estadística

6.1 Definición y objetivos del muestreo en estadística

El muestreo es un proceso fundamental en estadística que consiste en seleccionar una muestra representativa de una población más grande. Su objetivo es obtener información precisa y confiable sobre la población sin tener que estudiar a cada miembro de ella. El muestreo permite hacer inferencias y generalizaciones a partir de la muestra seleccionada.

6.2 Métodos de muestreo más comunes

Existen varios métodos de muestreo ampliamente utilizados en estadística. El más básico es el muestreo aleatorio simple, donde cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Otro método común es el muestreo estratificado, donde se divide la población en grupos más pequeños y se selecciona una muestra de cada grupo. Además, está el muestreo por conglomerados, donde se seleccionan grupos o conglomerados de la población en lugar de individuos. Por último, está el muestreo sistemático, donde se selecciona un elemento al azar y luego se selecciona sistemáticamente cada cierto número de elementos.

6.3 Consideraciones y errores en el muestreo

Es importante tener en cuenta algunas consideraciones al realizar un muestreo. Por ejemplo, es crucial garantizar la representatividad de la muestra seleccionada para que los resultados sean generalizables a la población objetivo. Además, pueden surgir errores en el muestreo, como el sesgo de selección, que ocurre cuando ciertos miembros de la población tienen más probabilidades de ser seleccionados que otros, lo que puede afectar la precisión de los resultados. También pueden existir errores de muestreo aleatorio, que son debidos a la variabilidad inherente al proceso de selección aleatoria. Estos errores se pueden minimizar mediante el uso adecuado de técnicas de muestreo y el cálculo de medidas de error.En conclusión, la estadística es una herramienta poderosa para comprender y analizar los datos que nos rodean. A través de la comprensión de conceptos como población, muestra, variables y escalas de medida, así como el uso de estadísticos y parámetros, podemos obtener información valiosa que nos ayuda en la toma de decisiones informadas. Además, el proceso de muestreo nos permite obtener muestras representativas de una población más grande, mejorando la precisión de nuestros resultados. Ya sea en la investigación científica, el análisis de mercado o la planificación de políticas, la estadística desempeña un papel fundamental. Al dominar estos conceptos básicos, estaremos mejor equipados para interpretar y utilizar datos estadísticos de manera efectiva en nuestras diversas áreas de interés. La estadística es una herramienta que nos brinda conocimiento y perspectivas clave para enfrentar los desafíos y tomar decisiones informadas en un mundo cada vez más data-driven.

Preguntas frecuentes sobre estadística

1. ¿Cuál es la diferencia entre población y muestra en estadística?

La población se refiere al conjunto completo de elementos que se desea estudiar, mientras que la muestra es una parte seleccionada de la población que se utiliza para hacer inferencias y generalizaciones sobre la población en su conjunto. La elección de trabajar con población o muestra depende de diversos factores, como la disponibilidad de recursos y el tiempo necesario para realizar el estudio.

2. ¿Qué son las variables y por qué son importantes en estadística?

Las variables son características o propiedades que pueden medirse u observarse en un estudio. Pueden ser cualitativas (categorías) o cuantitativas (valores numéricos), y son fundamentales en la estadística porque nos permiten cuantificar y analizar fenómenos o comportamientos. Las variables nos brindan información crucial para comprender patrones, relaciones y tendencias en los datos.

3. ¿Cuáles son las escalas de medida más comunes en estadística?

Existen cuatro escalas de medida principales: nominal, ordinal, intervalo y ratio. La escala nominal se utiliza para clasificar o categorizar datos, mientras que la escala ordinal permite establecer un orden o jerarquía entre las categorías. La escala de intervalo mide las diferencias entre los valores, pero no tiene un punto de referencia absoluto, mientras que la escala de ratio tiene tanto una magnitud como un punto de referencia absoluto. La elección de la escala de medida adecuada depende del tipo de datos y el nivel de precisión requerido en el análisis estadístico.

4. ¿Por qué es importante el proceso de muestreo en estadística?

El proceso de muestreo es fundamental en estadística porque nos permite obtener una muestra representativa de una población más grande. Al seleccionar una muestra adecuada, podemos obtener conclusiones o inferencias válidas sobre la población en su conjunto. El muestreo adecuado garantiza la precisión y la validez de los resultados estadísticos, evitando sesgos y errores que podrían surgir al analizar toda la población.

jueves, 26 de agosto de 2010

DISTRIBUCIÓN T-STUDENT

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En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Se utiliza entonces para hacer inferencia con respecto a una o dos medias poblacionales.

La distribución t-Student se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una $\chi ^2$ independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n grados de libertad, ${ {{\bf t} } }_{n}$ a la de una v.a. T,
$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle T=\frac{Z}{\sqrt{ \frac{1}{n}\chi_n^2}} {\leadsto}{ {{\bf t} } }_n $ } } } \end{displaymath}$

donde $Z{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$ , $\chi_n^2{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_n^2$ . Este tipo de distribuciones aparece cuando tenemos n+1 v.a. independientes

$\begin{displaymath}X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} } \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}X_i{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu_i,\sigma_i^2 \right)} }\qquad i=1,\dots,n \end{displaymath}$

y nos interesa la distribución de

$\begin{displaymath}T=\frac{ \displaystyle \frac{X-\mu}{\sigma}}{ \sqrt{\displays... ...c{X_i-\mu_i}{\sigma_i} \right)^2 }} {\leadsto}{ {{\bf t} } }_n \end{displaymath}$

Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados de libertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente: $t_n{\leadsto}{ {{\bf t} } }_n$ es

$\begin{displaymath}f_T(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left( \... ...ac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}} \qquad \forall\,t\in I\!\!R \end{displaymath}$

**Figura:** Función de densidad de una t de Student
$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-16.epsi}$

La distribución ${ {{\bf t} } }$ de Student tiene propiedades parecidas a ${ {{\bf N} \left ( 0,1 \right )} }$ :

Es de media cero, y simétrica con respecto a la misma;
Es algo más dispersa que la normal, pero la varianza decrece hasta 1 cuando el número de grados de libertad aumenta;

Figura: Comparación entre las funciones de densidad de ${ {{\bf t} } }_1$ y ${ {{\bf N} \left ( 0,1 \right )} }$ .

$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-17.epsi}$
Para un número alto de grados de libertad se puede aproximar la distribución de Student por la normal, es decir,

$\begin{displaymath}{ {{\bf t} } }_n \stackrel{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} { {{\bf N} \left( 0,1 \right)} } \end{displaymath}$

Figura: Cuando aumentan los grados de libertad, la distribución de Student se aproxima a la distribución normal tipificada.

$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-18.epsi}$
Para calcular

$\begin{displaymath}{{\cal P}}[T\leq t] = F_T(t) = \int_{-\infty}^t f_T(x)\,dx = ... ...qrt{n\pi}} \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\, dx} \end{displaymath}$

en lugar de considerar una primitiva de esa función y determinar la integral definida, buscaremos el resultado aproximado en una tabla de la distribución ${ {{\bf t} } }_{n}$ . Véase la tabla 4, al final del libro.

**Figura:** Comparación entre las funciones de densidad de ${ {{\bf t} } }_1$ y ${ {{\bf N} \left ( 0,1 \right )} }$ .
$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-17.epsi}$

**Figura:** Cuando aumentan los grados de libertad, la distribución de Student se aproxima a la distribución normal tipificada.
$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-18.epsi}$

Referencia: www.bioestadistica.uma.es/libro/node81.htm

MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS: NORMAL Y T-STUDENT

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
nivel de ruido en telecomunicaciones;
errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, incluso si la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.^[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.
Las características que descacan a este distribución son: que el dominio de la variable va desde -oo hasta +oo; su curva es simétrica respecto de la media; la distribución es Unimodal por lo que la media, mediana y moda son iguales; por cada cambio en la media la curva se desplaza hacia la derecha o izquierda; y por cambios en la varianza y/o desviación estándar la curva cambia de forma, es decir se puede achatar si la varianza es grande y ser mas puntiaguda si la varianza es pequeña (ver gráfico siguiente).
REFERENCIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal.

MODELOS DE PROBABILIDAD NORMAL

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Normal_distribution_pdf.png

MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS

Los modelos o distribuciones de probabilidad más usados o más conocidos son:
- Uniforme
- Binomial
- Hipergeométrico
- Poisson
El modelo Binomial: se utiliza en experimentos aleatoros donde la variable en estudio es discreta, existen sólo dos posibles resultados: Éxito y Fracaso. La probabilidad de éxito se conoce como p y la probabilidad de fracaso como (1-p). Cuando se realiza el experimento y el muestreo es Con Reposición se puede aplicar este modelo binomial por lo que los eventos que se generan son independientes. La calificación de éxito o frecaso a un determinado hecho depende del interés del investigador. La curva de la distribución es Asimétrica positiva. Ejemplos de experimentos binomiales:
* Presentar un examen (éxito=aprobar, fracaso =reprobar)
* Conseguir empleo
* Viajar al exterior
* Conseguir la información que se busca

El modelo Hipergeométrico: cuando el muestreo se realiza Sin Reposición se puede aplicar este modelo por lo que los puntos muestrales que se originan y que forman los eventos son dependientes, la variable en estudio es discreta, se caracteriza principalmente porque existen un número determinado de elementos que presentan cierta característica.

El modelo de Poisson: se usa para análisis de variables aleatorias discretas medidas en el tiempo o en el espacio (tiempo: días, horas, minutos, segunddos, semanas, meses; espacio: km. cm. cc. mts..); los puntos muestrales o eventos que se generan en una unidad de tiempo o espacio son independientes de los que ocurren en otra unidad de tiempo o espacio; el promedio o tasa de eventos que ocurren en una unidad de tiempo o espacio es proporcional al cambio de la unidad de tiempo o espacio. cuando el tamaño de la muestra es grande (n>30) y la probabilidad de éxito es muy pequeña, se puede usar el modelo de Piosson en lugar del Modelo Binomial usando el promedio del modelo binomila como parámetro de Poisson. para mayor información visitar: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson

miércoles, 26 de mayo de 2010

PARÁMETROS

Los parámetros son los valores que caracterizan a una población de individuos entes o cosas. Por ejemplo el promedio, la mediana, la moda, la desviación estándar, la proporción, entre otros. Por lo general los parámetros se desconocen y se estiman a través de los estadígrafos. El desconocimiento de un parámetro tiene que ver con las variables que se este interesado en analizar en una investigación y además del tamaño de dicha población. casi siempre sucede que las pobalciones bajo estudio son grandes y se requiere de recursos económicos, humanos y tecnológicos para recaudarla, es recomendable tomar muestras; en consecuencia los parámetros son desconocidos y por ende son estimados.